A Importância da Matemática em Computação

Diante de uma nova cultura que procura cada vez mais diminuir o tempo de formação, a distância de fundamentos necessários tem se tornado determinante na diferenciação da qualidade dos profissionais em computação. Pensar em ser um profissional desta área sem conhecer conceitos básicos de matemática pode ser comparado a utilizar um barco sem leme. O problema da partilha, apresentado inicialmente, ajuda a perceber que conhecimentos simples podem facilitar a busca de uma solução prática, clara e sábia. Além disso, reconhecer que a matemática tem uma tradição e importância social e cultural na história humana há aproximadamente 5000 anos, é um passo inicial para aceitá-la melhor e incorporá-la na vida profissional. A necessidade de lidar com grande quantidade de dados e resolver problemas matemáticos insolúveis, a priori, foi a grande motivação para o surgimento do computador, que é a principal ferramenta da área de computação. Compreender o mundo atual significa acompanhá-lo e, para isso, conhecer e gostar de matemática tornou-se questão de sobrevivência. Desta forma, é natural perceber quão importante é a matemática também neste universo profissional.

PROBLEMA DA PARTILHA DE BENS

O dono de uma grande empresa de informática fez, antes de morrer, um testamento direcionado a seus três filhos, todos com formação em Tecnologia de Informação. O texto dizia o seguinte:
"Prezados filhos,
Antes de tudo, lembro que sempre vos amei e não importa onde e como estarei, sempre vos amarei. Vós sois as maiores riquezas que acumulei em toda a minha vida, as quais não se compra com dinheiro.

Como rotina em nosso relacionamento, gostaria de deixar um último desafio aos três. Além de nossa conta bancária, bastante confortável, deixo a vós os 35 centros de análise e processamento de dados da nossa empresa. No entanto, para que isto se confirme, as condições a seguir deverão ser consideradas; caso contrário, os prédios serão vendidos e o dinheiro será doado a um projeto governamental de incentivo a pequenos empresários da nossa área.As condições são as seguintes:

I) As frações 1/9, 1/3 e 1/2 do total de prédios, deverão ser partilhadas entre os filhos, respectivamente, por ordem crescente das idades;
II) A nossa empresa deverá ser separada em três, uma a cada filho;
III) Não será permitida a sociedade entre os filhos;
IV) Os prédios não poderão ser vendidos para solucionar esta partilha;
V) O filho que solucionar o problema terá um prêmio extra.
Acreditando em vosso bom senso e inteligência, espero que a solução seja a mais adequada a todos.

Com carinho e amor, Vosso Pai"


O grande problema estava em partilhar as frações, seguindo as condições estabelecidas no testamento. Os três filhos deveriam receber, em ordem crescente das idades, respectivamente, 3,888... , 11,666... e 17,5 prédios. Cada filho já possuía sua empresa de informática e, então, o filho mais novo teve a brilhante idéia de doar o prédio de sua empresa ao montante da herança, que passou a possuir 36 prédios. Refazendo a partilha, o filho mais velho recebeu 18 prédios no lugar de 17,5, o segundo filho recebeu 12 prédios no lugar de 11,666... e o filho mais novo recebeu 4 prédios no lugar de 3,888.... Todos ficaram satisfeitos e ainda sobraram dois prédios, pois a soma 18 + 12 + 4 = 34. Um dos prédios já pertencia ao filho mais novo, e o outro, juntamente com um cheque de duzentos milhões de dólares, foi presenteado a ele como prêmio extra por solucionar o problema. (Trecho inspirado em texto do livro "O homem que calculava" de Malba Taham)

PRIMEIROS TEMPOS (3000 a 600 a. C.)


Já nos primeiros tempos da raça humana, noções primitivas relacionadas aos conceitos de números, grandezas e forma já faziam parte da vida diária do homem. Se há validade no princípio biológico da "sobrevivência dos mais aptos", a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos.Os egípcios, cerca de 5000 anos atrás, começaram a utilizar a matemática através da astronomia para observar que a inundação anual do rio Nilo tinha lugar pouco depois que Sirius, a estrela do cão, levantava-se a leste, logo antes do sol. Dado que esses surgimentos helíacos de Sirius, o anunciador da inundação, eram separados por 365 dias, os egípcios estabeleceram um bom calendário solar feito de doze meses de trinta dias cada um e mais cinco dias de festa, que é a base de nosso calendário atual. Este calendário foi fundamental para a agricultura dos povos que viviam à beira do rio Nilo. Além da astronomia, os egípcios nos deixaram grandes escritos sobre construção civil, arquitetura, arte, etc., todos fundamentados em conceitos matemáticos.

As civilizações babilônicas da Mesopotâmia, que viveram por volta de 2000 a 600 a. C, foram consideradas de alto nível por terem apresentado notável progresso cultural. Os sumérios, por exemplo, construíram casas e templos decorados com cerâmicas e mosaicos artísticos em desenhos geométricos. Governantes poderosos uniram os principados locais num império que realizou vastas obras públicas, como por exemplo o sistema de cavas, que irrigava a terra e controlava as inundações, tudo a partir de princípios matemáticos.

PERÍODO ÁUREO (600 a.C. a 600 d.C.)

A partir de 600 a.C. a civilização grega assumiu a hegemonia cultural. No período helênico, que se estende aproximadamente de 600 a 323 a. C, destacam-se Tales de Mileto, Pitágoras de Samos, entre outros. Segundo a escola Pitagórica "Tudo é número", ou seja, o mundo pode ser explicado pela matemática. Pitágoras foi o responsável por tornar a matemática literal e Platão tornou-a parte da educação dos homens de estado, fato que contribuiu para o desenvolvimento das ciências políticas e econômicas.
O início do desenvolvimento formal da aritmética e geometria data deste período. Isto foi fundamental para as ciências astronômicas e, mais tarde, para a física. O fim deste período aconteceu com as mortes do Imperador Alexandre, o Grande, e Aristóteles (discípulo de Platão), considerado o maior erudito de todos os tempos e precursor da lógica.
A fase seguinte deu início a uma nova era da matemática, chamada Idade Áurea da Matemática Grega, Período Helenístico, ou ainda período Alexandrino e se estendeu de aproximadamente 324 a.C a 600 d.C. Alguns destaques deste período são Euclides, Arquimedes, Apolônio, Aristarco, entre outros. Arquimedes, também conhecido como pai da física, com as leis da alavanca, trouxe uma grande contribuição para a construção civil, mas seu maior feito está relacionado aos princípios da hidrostática, utilizados até os dias de hoje como base para a construção de navios, submarinos, etc. Nesta fase houve também um grande desenvolvimento da geometria e trigonometria. O fim do período Alexandrino deu-se com a morte de Boécio, filósofo, matemático e homem de Estado, em 524 ou 525. A partir desta data, o homem passou um grande período voltado ao estudo do espírito e na busca pela salvação.

A IDADE DAS "TREVAS"

Com a queda de Roma em 476, iniciou-se um período designado "Idade Média" que durou até a queda de Constantinopla em 1453. Para a história da matemática, este intervalo de tempo vai do ano 529, quando Justiniano, imperador do oriente, fechou as escolas filosóficas pagãs de Atenas, até 1436, com a morte do matemático Al-Kash. Durante a Idade Média, o mundo ocidental esteve concentrado na salvação do homem e os estudos voltaram-se ao espírito, deixando de lado a evolução das idéias sobre a razão. Este período foi classificado como "A idade das trevas". A esse respeito, Roger Bacon disse: "O abandono da matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo".
O único centro de estudos da razão estava concentrado no que restava do império Romano. No entanto, o mundo oriental deu continuidade ao desenvolvimento da matemática. A China, Índia, Arábia e Império Bizantino tornaram-se os novos centros de estudos. Muito se fez, como a expansão dos numerais Indo-Arábicos, estudo das seqüências (como a de Finobacci), soluções de equações críticas, a cinemática medieval, séries infinitas, etc. Os esforços dos povos medievais produziram grandes contribuições para o mundo do pensamento, mas nada se compara à produção dos povos gregos.

RENASCIMENTO

O renascimento, a partir de 1453, foi o período de retomada para o desenvolvimento da cultura. Os grandes destaques desta época são Leonardo da Vinci, Robert Recorde, Nicolau Copérnico, entre outros. Leonardo da Vinci é freqüentemente considerado um matemático, mas sua mente inquieta não se fixou na aritmética, na álgebra ou na geometria por tempo suficiente para que fizesse alguma contribuição importante nesta área. Em seus cadernos de notas, encontram-se quadraturas de lunas, construções de polígonos regulares e idéias sobre centros de gravidade e curvas de dupla curvatura; mas tornou-se mais conhecido por sua aplicação da matemática à ciência e à teoria da perspectiva. Da Vinci é citado como o típico homem da Renascença, com conhecimentos sobre tudo.

A MATEMÁTICA MODERNA

A transição do Renascimento para a Idade Moderna fez-se através de homens, na Itália, como Galileu Galilei (1564-1642) e Boaventura Cavalieri (1598-1647), na Inglaterra, Thomas Harriot (1560-1621) e Willian Oughtred (1574-1660), em outros países, Simon Stevin (1548-1620), Albert Girard (1590-1633), Johann Kepler (1571-1630), etc. Grandes idéias surgiram nesta época, como a arte analítica, o conceito de parâmetro, relação entre raízes e coeficientes, os logaritmos, etc.
Galileu Galilei inicialmente tinha tido a intenção de se graduar em medicina, mas seu gosto pelas obras de Euclides e Arquimedes levou-o a tornar-se professor de matemática, primeiro em Pisa e depois em Pádua. Num panfleto de 1606, com o título "Le operazioni del compasso geométrico et militare", ele descreveu detalhadamente o modo pelo qual o instrumento podia ser usado para efetuar uma variedade de computações rapidamente sem pena, papel ou ábaco. Utilizando seus conhecimentos de matemática e observando os céus com um telescópio, Galileu criou dois tratados importantes: Os dois principais sistemas (1632) e As duas novas ciências (1638).
Uma nova geração de matemáticos começou a surgir, entre eles René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662) e o centro da matemática passou a ser a França. Descartes, além de ser considerado o pai da filosofia moderna, apresentou uma nova visão científica transformada do mundo e estabeleceu um novo ramo da matemática, a geometria analítica. Em seu trabalho "Discours de la méthode pour bien conduire as raison et chercher la vérité dans lês sciences" (Discurso sobre o método para raciocinar bem e procurar a verdade nas ciências) de 1637, ele anunciou seu programa de pesquisa filosófica. Ele esperava, por dúvida sistemática, chegar a idéias claras e precisas a partir das quais seria possível deduzir inúmeras conclusões válidas. Essa visão de ciência levou-o a admitir que tudo fosse explicável em termos da matéria (ou extensão) e movimento. A ciência cartesiana gozou de grande popularidade por quase um século, mas depois cedeu lugar ao raciocínio matemático de Newton. Ironicamente, foi em grande parte a matemática de Descartes que mais tarde possibilitou a derrota da ciência cartesiana. As demais contribuições de Descartes concentram-se no desenvolvimento da álgebra geométrica, classificação das curvas, identificação das cônicas, definição de normais e tangentes, etc.
Outro destaque deste período foi Fermat, que segundo Laplace, foi o verdadeiro inventor do cálculo diferencial e integral. Entre suas contribuições está o conceito de diferenciação e integração. Esse período encerrou-se com as mortes de Pascal e Fermat.Um período importante para a matemática foi aquele compreendido entre o final do século XVII e início do século XVIII. Dois grandes cérebros viveram nesta época, Issac Newton e Leibniz. Dentre as contribuições de Newton estão: o teorema binomial, séries infinitas, método dos fluxos e o cálculo diferencial e integral. Leibniz também organizou, independentemente, um tratado sobre o cálculo e escreveu vários trabalhos que trazem a idéia de lógica matemática.
Durante o século XVIII e XIX, a lógica tomou uma importância efetiva. Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representação gráfica das relações entre sentenças ou proposições - mais tarde ampliada por John Venn (1834-1923), E. W. Veitch (1952 ) e M. Karnaugh (1953). Outros destaques deste período são Augustus De Morgan (1806-1923), que escreveu um tratado sobre a lógica formal, George Boole (1815-1864), que desenvolveu a álgebra booleana, entre outros.
Após este período, a matemática seguiu por um caminho de desenvolvimento, sempre aliada a ciências como a física, química, biologia, ciências econômicas, etc. Durante o século XX, os avanços tecnológicos começavam a apontar para uma era onde a matemática passaria a ter mais impotância ainda do que já figurava na história da humanidade.

MATEMÁTICA E COMPUTAÇÃO

Nos dias atuais, a principal ferramenta utilizada para auxiliar no pensamento é o computador. Este instrumento foi desenvolvido, basicamente, por engenheiros, físicos e matemáticos. Na primeira metade do século XX, a história das máquinas de computação envolveu estatísticos, físicos e engenheiros elétricos em maior número que matemáticos. Máquinas de calcular de mesa e sistemas de cartões perfurados eram indispensáveis para negócios, bancos e para as ciências sociais. A régua de calcular tornou-se o símbolo do engenheiro; integradores de vários tipos eram usados por físicos, geodesistas e estatísticos. A situação mudou por volta de 1940, devido ao envolvimento de matemáticos no esforço de guerra. Embora a maior parte do esforço viesse de físicos e engenheiros, numerosos matemáticos jovens desempenharam um papel no desenvolvimento do computador eletrônico digital automático. Três desses matemáticos são destaques: John Von Neumann (1903-1957), Norbert Wiener (1894-1964) e Alan Turing (1913-1954).
A sociedade atual tem tratado o computador com extrema importância. Com ele, profissionais como cientistas e engenheiros de computação, programadores, analistas de sistemas, etc. têm ocupado posição de destaque. Todos esses profissionais têm como base disciplinas como lógica, algoritmos, estrutura de dados, matemática discreta, geometria, estatística, etc., e todas estas disciplinas estão fundamentadas na matemática descoberta ao longo dos séculos anteriores.
Um profissional de computação que possui conhecimentos em matemática é capaz de resolver problemas profundos, oferecendo soluções claras, organizadas, criativas e eficientes. As empresas têm buscado cada vez mais profissionais com esse perfil, pois os desafios atuais são maiores e exigem conhecimentos mais sólidos. A geometria é uma grande aliada no processo criativo de um profissional em computação, já que facilita a abstração do mundo real, permitindo que novos modelos sejam criados com muita facilidade e precisão.
No universo dinâmico da era atual, não dá para pensar em viver sem os conhecimentos básicos abordados, principalmente no que se refere aos profissionais da área de computação, sejam eles técnicos ou voltados ao gerenciamento de projetos. Esta base é diferencial para os profissionais que querem alcançar o sucesso, mas também é fundamental para a sobrevivência nos dias atuais, diante da quantidade de informações e dos avanços tecnológicos, que são extremamente rápidos. Pode-se dizer então, que para compreender o mundo contemporâneo, é necessário acompanhá-lo. Para isso a matemática, aliada à computação, tornou-se linguagem imprescindível.

A história e a Aplicabilidade da Matemática no dia a dia.

História da Matemática Os gregos e o infinito , Cálculos Matemáticos, Complicar para simplificar, O método científico , Revolução matemática , história da matemática







Ábaco: um dos primeiros sistemas de cálculos






Introdução : A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios nas construção de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.

Abaixo, um pequeno histórico da evolução histórica da matemática :
4000 a.C. - Na Mesopotâmia, os sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.
520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.
300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.
250 - Diofante estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.
500 - Surte na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.
1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.
1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.
1591 - O francês François Viète começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.
1614 - O escocês John Napier publica a primeira tábua de algorítimos.
1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descartes desenvolve uma nova disciplina matemática : a geometria analítica, com a misitura de álgebra e geometria.
1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.
1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.
1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.
1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.
1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.
1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.
1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a geometria não euclidiana.
1931 - Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.
1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.
1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat.